Quels sont les liens entre la musique et les mathématiques?

  • Forum
  • Le 6 octobre 2014

  • Martin LaSalle

Illustration: Benoît Gougeon.Qu'elle nous fasse planer, vibrer ou maugréer, la musique est composée de séries de notes ou de sons qui ont pour assise les... mathématiques.

 

Pour comprendre, imaginons une corde de guitare qui, lorsqu'elle est pincée sur sa pleine longueur, produit la note do.

Comme toutes les autres notes de la gamme, le do renferme en réalité plusieurs autres «notes» qui correspondent aux différentes composantes fréquentielles (ou harmoniques) du son : ces fréquences harmoniques sont définies comme des multiples entiers de la fréquence dite «fondamentale» (deux fois, trois fois, quatre fois, cinq fois, etc.) et résonnent simultanément.

«En d'autres termes, ces harmoniques sont des notes graves et aiguës qui se produisent en même temps que la note do, mais à divers intervalles. Toutes ces “notes” contribuent au timbre du son», explique Caroline Traube, professeure à la Faculté de musique de l'Université de Montréal.

Revenons à notre corde de guitare. En faisant résonner non plus la longueur totale de la corde mais seulement sa moitié (en la bloquant avec le doigt sur la 12e frette), nous obtenons un autre do mais une octave plus haut, c'est-à-dire à un intervalle de huit notes du côté des aigus.

En bloquant maintenant la corde au tiers de sa longueur, on obtient un sol qui est situé une quinte au-dessus du do fondamental. L'intervalle est ainsi défini par le rapport mathématique 3/2 (trois demis), qui est l'inverse de la proportion de la corde qui résonne. C'est aussi l'intervalle qui sépare les deuxième et troisième fréquences harmoniques d'un son périodique.

Puis, en bloquant la corde au cinquième de sa longueur (les 4/5 de la longueur résonnent alors), on obtiendra un mi (une tierce majeure au-dessus du do), dont le rapport mathématique est défini par une proportion de 5/4.

En résumé, quand on parcourt la série des harmoniques du do fondamental, on effectue des sauts d'intervalles musicaux : octave (2/1), quinte (3/2), quarte (4/3), tierce majeure (5/4), tierce mineure (6/5)...

Mais à quoi servent ces rapports mathématiques?

Parmi les multiples possibilités qu'ils recèlent, les rapports mathématiques permettent notamment de synthétiser les notes de la gamme de façon à assurer une harmonie parfaite. «Ainsi, à l'aide d'un ordinateur ou d'un synthétiseur, on peut créer un do fondamental dont la fréquence sera de 130 hertz. Pour obtenir le sol situé à la quinte, on multiplie le rapport 3/2 [quinte] par la fréquence de 130 hertz, ce qui donnera un sol dont la fréquence sera de 195 hertz [3/2 X 130 = 195]», explique Mme Traube.

Cette compréhension de la nature du son permet une multitude d'applications, entre autres dans les studios d'enregistrement. Par exemple, à l'aide de sa console, l'ingénieur du son règle la dynamique des pistes sonores qu'il mélange et filtre de façon que chacune soit en harmonie avec les autres, qu'elle soit bien perçue par l'oreille et qu'elle procure une esthétique et une intelligibilité optimales.

Martin LaSalle