Une question mathématique ouverte depuis 70 ans finalement résolue
- UdeMNouvelles
Le 23 février 2024
- Béatrice St-Cyr-Leroux
Les mathématiques, tout en étant une science fondamentale, partagent certaines similitudes avec le sport et l’art.
Crédit : Getty
Un professeur de l’UdeM et ses collaborateurs ont démontré la conjecture de Pólya sur les valeurs propres pour un disque, un cas particulièrement important.
Serait-ce possible de deviner la forme d’un tambour seulement en entendant les sons qu’il produit?
Voilà l’une des questions qui intéressent Iosif Polterovich, professeur au Département de mathématiques et de statistique de l’Université de Montréal. Pour comprendre ce type de phénomène physique relatif à la propagation des ondes, il fait appel à la géométrie spectrale, une branche des mathématiques.
Récemment, avec ses collaborateurs de l’étranger Nikolay Filonov, Michael Levitin et David Sher, le professeur a démontré un cas spécial rattaché à une conjecture célèbre en géométrie spectrale. Posée en 1954 par George Pólya – un mathématicien éminent –, elle concerne les estimations de fréquences d’un tambour rond ou, en langage mathématique, les valeurs propres d'un disque.
Pólya lui-même a confirmé sa conjecture en 1961 pour des domaines qui pavent le plan, comme les triangles ou les rectangles. Jusqu’à l’année dernière, la conjecture n’était connue que pour ces domaines, alors que le disque, malgré sa simplicité apparente, restait insaisissable.
«Imaginez un plancher infini recouvert de plusieurs tuiles d’une même forme qui s’imbriquent les unes dans les autres pour remplir l’espace. On peut carreler le sol avec des carrés ou des triangles, mais pas avec des disques. De fait, c’est une assez mauvaise forme pour le pavage», explique Iosif Polterovich.
L’universalité des mathématiques
Dans un article publié dans la revue mathématique Inventiones mathematicae, les chercheurs ont ainsi montré que la conjecture de Pólya est vraie pour le disque, un cas considéré comme un défi particulier.
Bien que ce résultat ait une valeur essentiellement théorique, la méthode de preuve a des applications en mathématiques computationnelles et en calcul numérique. Les auteurs étudient d’ailleurs actuellement cette avenue.
«Les mathématiques, tout en étant une science fondamentale, partagent certaines similitudes avec le sport et l’art. Essayer de prouver une conjecture de longue date est un sport. Trouver une solution élégante est un art. Et, comme c’est souvent le cas, les découvertes mathématiques qui sont belles se révèlent utiles – il faut juste trouver la bonne application», résume le professeur.
