Des «supercavaliers» sur un échiquier infini
Dans cette démonstration, Christian Táfula Santos remplace le cavalier traditionnel et son mouvement en L par un «supercavalier» capable de se déplacer d’un nombre a de cases dans une direction et un nombre b de cases dans l'autre. Le «supercavalier» fait référence à un cas où a et b sont premiers entre eux et dont la somme est impaire.
«La progression du cavalier traditionnel vers le supercavalier s'inscrit dans une approche mathématique de généralisation, explique-t-il. J’ai donc élargi le concept en cherchant à savoir ce qui se produirait si le cavalier pouvait se déplacer de a cases dans un sens et de b cases dans l'autre au lieu du mouvement habituel.»
De cette façon, le supercavalier parvient à effectuer un mouvement plus ample, en se déplaçant de deux cases dans un sens et de trois dans l’autre, où a = 2 et b = 3. Le ratio de ce mouvement par rapport au roi devient donc 90/31, ce qui signifie qu’il est environ 2,9 fois plus rapide en moyenne que le roi.
«Dès lors, il est aussi logique mathématiquement de passer de la généralité à des cas particuliers, en imaginant un “fibocavalier”: si a et b sont des nombres de Fibonacci, les vitesses résultantes sont liées par le nombre d'or – soit 1,618... –, reflétant le comportement de la séquence de Fibonacci!» ajoute le doctorant.
La démonstration de Christian Táfula Santos contredit ainsi l’intuition voulant que la vitesse moyenne du cavalier soit double, puisqu’il peut atteindre certaines cases deux fois plus vite que le roi.
Cependant, sur certains trajets diagonaux, le roi est moins lent: le facteur de rapidité du cavalier passe à 3/2, soit 1,5 fois plus rapide en moyenne.
«Cela dit, mon projet de recherche dépasse le cadre du jeu d'échecs, conclut Christian Táfula Santos. Il établit des liens entre différentes branches des mathématiques, dont la théorie des nombres, la géométrie et la combinatoire, et il ouvre des perspectives pour l'étude d'autres pièces et de mouvements dans des espaces à plus de deux dimensions.»
Comme quoi, un jeu millénaire comme les échecs peut encore révéler des propriétés mathématiques insoupçonnées!
