La suite de Fibonacci pour comparer les vitesses du cavalier et du roi sur un échiquier
- UdeMNouvelles
Le 11 décembre 2024
- Martin LaSalle
Christian Táfula Santos s'appuie sur les travaux du mathématicien Askold Khovanskii, qui décrit comment certains ensembles de nombres croissent lorsqu'on les additionne, pour explorer une famille entière de «cavaliers modifiés» et créer un pont inattendu avec la célèbre suite de Fibonacci.
Crédit : Getty
Aux échecs, le cavalier n’est pas deux fois plus rapide que le roi pour se déplacer vers une case donnée. Pour le démontrer, Christian Táfula Santos a eu recours à la célèbre suite de Fibonacci.
Lorsqu’on joue aux échecs, on sait que le cavalier est plus rapide que le roi pour atteindre une case donnée, mais quel est ce ratio de vitesse?
C’est ce qu’a calculé Christian Táfula Santos, doctorant au Département de mathématiques et de statistique de l'Université de Montréal, dont la démonstration a fait l’objet d’une publication sur le site de science ouverte arXiv, qui archive près de 2,4 millions d'articles scientifiques dans différents domaines.
Le ratio qu’il a découvert est 24/13, c’est-à-dire que le cavalier est, en moyenne, 1,85 fois plus rapide que le roi pour atteindre une case sur un échiquier – ce qui signifie que, si le cavalier met environ 13 coups pour atteindre une certaine case, il en faudra environ 24 au roi pour l’atteindre à son tour.
Mais ce n’est pas tant la réponse que le raisonnement derrière ce ratio qui est particulier: Christian Táfula Santos s'appuie sur les travaux du mathématicien Askold Khovanskii, qui décrit comment certains ensembles de nombres croissent lorsqu'on les additionne, pour explorer une famille entière de «cavaliers modifiés» et créer un pont inattendu avec la célèbre suite de Fibonacci.
Des «supercavaliers» sur un échiquier infini
Dans cette démonstration, Christian Táfula Santos remplace le cavalier traditionnel et son mouvement en L par un «supercavalier» capable de se déplacer d’un nombre a de cases dans une direction et un nombre b de cases dans l'autre. Le «supercavalier» fait référence à un cas où a et b sont premiers entre eux et dont la somme est impaire.
«La progression du cavalier traditionnel vers le supercavalier s'inscrit dans une approche mathématique de généralisation, explique-t-il. J’ai donc élargi le concept en cherchant à savoir ce qui se produirait si le cavalier pouvait se déplacer de a cases dans un sens et de b cases dans l'autre au lieu du mouvement habituel.»
De cette façon, le supercavalier parvient à effectuer un mouvement plus ample, en se déplaçant de deux cases dans un sens et de trois dans l’autre, où a = 2 et b = 3. Le ratio de ce mouvement par rapport au roi devient donc 90/31, ce qui signifie qu’il est environ 2,9 fois plus rapide en moyenne que le roi.
«Dès lors, il est aussi logique mathématiquement de passer de la généralité à des cas particuliers, en imaginant un “fibocavalier”: si a et b sont des nombres de Fibonacci, les vitesses résultantes sont liées par le nombre d'or – soit 1,618... –, reflétant le comportement de la séquence de Fibonacci!» ajoute le doctorant.
La démonstration de Christian Táfula Santos contredit ainsi l’intuition voulant que la vitesse moyenne du cavalier soit double, puisqu’il peut atteindre certaines cases deux fois plus vite que le roi.
Cependant, sur certains trajets diagonaux, le roi est moins lent: le facteur de rapidité du cavalier passe à 3/2, soit 1,5 fois plus rapide en moyenne.
«Cela dit, mon projet de recherche dépasse le cadre du jeu d'échecs, conclut Christian Táfula Santos. Il établit des liens entre différentes branches des mathématiques, dont la théorie des nombres, la géométrie et la combinatoire, et il ouvre des perspectives pour l'étude d'autres pièces et de mouvements dans des espaces à plus de deux dimensions.»
Comme quoi, un jeu millénaire comme les échecs peut encore révéler des propriétés mathématiques insoupçonnées!
À propos de cette étude
L'étude «Knights are 24/13 times faster than the king», par Christian Táfula Santos a été publiée sur le site de science ouverte arXiv.
